老王的夢田

在圓上有三點A、B、C，那麼我們把兩弦AC和CB和稱為一組「折弦」。

那麼以下的定理稱為「阿基米得折弦定理」：

在圓上由AC和CB所組成的一組折弦，若AC＞CB，且假設D是弧ACB的中點，那麼D在AC上的投影點E，會有AE＝CE＋BC。(即E是折弦ACB的中點)

 

初見此題，想了許久；後來從基本方向思考，就順利解出來，所以這個問題我會歸類為基本解法的練習題。

哪種基本解法呢？就是欲證一線段是另外兩線段之和，基本作法就是將兩線段合併為另一線段，或是將一線段拆成兩線段。

【證法一之一】

延長AC，並取CF＝CB，連接DF。

∠DCF＝∠DAC＋∠ADC＝(弧ABCD)/2

＝(弧DAB)/2＝∠BCD，

所以ΔBCD@ΔFCD(SAS)

DF＝DB＝DA，

又DE⊥AF，所以

AE＝EC＋CF＝EC＋CB

 

【證法一之二】

延長BC，並取CF＝CE，連接DF。

∠DCF＝∠DAB＝∠DBA＝∠DCE，

故ΔDCE@ΔDCF(SAS)

∠F＝90°＝∠DEA，

就有ΔDAE@DBF(AAS)

AE＝BF＝BC＋CF＝EC＋CB

 

【證法二】

在AE上取AF＝BC，連接DF，

那麼ΔADF@BDC(SAS)

所以DF＝DC

又DE⊥CF，所以FE＝EC，

故AE＝AF＋FE＝EC＋CB

 

前一陣子在網路上亂逛的時候，看到有人的部落格裡PO了一個問題，看了一下，就是此定裡的應用。格主也PO了兩種作法，我覺得滿好的，就收錄起來一齊欣賞。

幾何問題01

【證法三】

過D作AC的平行線與圓交於F，

那麼DC弧＝AF弧；

接著由F作AC的垂線，垂足為G，

因為DC＝AF，所以EC＝AG，

而DF弧＝BC弧，所以BC＝DF＝GE，

故AE＝AG＋GE＝EC＋CB

 

 

【證法四】

延長DE交圓於F，連接AF，

直線FB和AC延長線交於G，

因為FE⊥AC且∠AFD＝∠BFD，
所以ΔAFG為等腰三角形，
AE＝EG，且∠A＝∠G；
又∠GBC＝∠A＝∠G，GC＝CB。
故AE＝EC＋CG＝EC＋CB。

 

 

這兩個證法其實也是基本方法，證法三分成兩段、證法四將兩段結合，只是作法上的本質是不同的。在證法一和二，我都是先做出相等的兩段再去證明；而三和四都是先做好，再去證明相等。我覺得這必須要有獨特的慧眼才行！！

 

參考資料

http://tw.myblog.yahoo.com/percussion-armyband/article?mid=93&sc=1#2511

 

 

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